Himpunan

Himpunan

1. Pengertian Himpunan

Menurut George Cantor (1845 - 1918), seorang yang ahli dalam matematika dia berasalah dari Jerman mengatakan bahwa himpunan adalah kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa benda abstrak ataupun benda kongkrit dan pada dasarnya benda-benda dalam suatu himpunan tidak harus mempunyai kesamaan sifat atau karakter.

Menurut Wikepedia himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap satu kesatuan.

Jadi himpunan adalah suatu kumpulan yang di dalamnya terdapat anggota ataupun sering disebut dengan elemen contoh himpunan mahasiswa teknik informatika maka anggota atau elemenya adalah mahasiswa dari jurusan teknik informatika, himpunan bilangan ganjil pertama {1,3,5,7,9}, Himpunan wanita-wanita cantik tidak bisa dikatakan himpunan karena kata "cantik" tidak dapat didefiniskan dengan tepat, karena wanita yang diangap cantik oleh seseorang belum tentu dianggap cantik pula oleh orang lain (relatif).
Umumnya himpunan ditulis dengan huruf kapital atau huruf besar contohnya {A,B,C,D,E,F} dan eleman ditulis dengan huruf kecil contohnya {a,b,c,d,e}, a Є A maka di baca nya adalah a adalah suatu elemen dari himpunan A atau 3 Є B maka di bacanya adalah 3 merupakan suatu elemen dari himpunan B.

2. Sifat Unsur-unsur Himpunan

Ketika sesuatu hal (mahluk hidup, benda mati, dll) punya keterkaitan tertentu di dalam sebuah himpunan maka itu bisa disebut juga dengan sifat himpunan.

• Obyek di dalam suatu himpunan bisa dibedakan antara obyek satu dengan yang lainnya, misalkan himpunan hewan dalam laut, dimana elemen atau anggotanya bisa berupa ikan hiu, ikan paus, penyu dan sebagainya.
• Unsur yang berada di dalam suatu himpunan dapat dibedakan dengan unsur yang tidak berada didalam ruangan, misalnya aquarium bisa dibedakan dengan benda yang diluar aquarium, misalnya lemari.

     1. Ciri-ciri Himpunan

• Mempunyai anggota
• Mempunyai sejumlah unsur yang membentuk himpunan
• Adanya unsur yang bukan termasuk anggota himpunan.

     2. Lambang Himpunan

• Diawali dengan kurawal buka ( { )
• Diakhiri dengan kurawal tutup ( } )
• Diberi nama dengan huruf kapital atau huruf besar (A,B,C,D) 
• Anggota dari himpunan atau elemen dari himpunan ditulis diantara atau di dalam kurung kurawal
• Contoh : Himpunan A adalah 1,2,3 maka ditulis A={1,2,3}

     3. Menyatakan Himpunan

• Menyatakan anggotanya atau elemennya satu persatu contohnya : A bilangan genap A= {2,4,6,8,10}.
• Menyatakan himpunan dengan variabel dan menyatakan sifat-sifatnya. Contohnya : A adalah suatu himpunan yang anggotanya atau elemennya bilangan genap ditulis A = {x|x adalah bilangan genap}
• Menyatakan himpunan dengan menggunakan kata-kata dengan cara merangkai kata-kata yang menggambarkan suatu bilangan. Contohnya : A adalah himpunan yang elemennya adalah huruf besar dan huruf kecil maka ditulis A={huruf besar dan huruf kecil}.

     4. Anggota Himpunan

Anggota atau elemen dari suatu himpunan adalah semua unsur yang terdapat di didalam suatu himpunan ditulis menggunakan Є. Tapi jika suatu elemen itu bukan bagian dari sebuah himpunan maka  Є dicoret. contohnya A={1,2,3} , 1,2,3 adalah sebuah anggota atau  Є dari A.

3. Jenis-jenis Himpunan

1. Himpunan berhingga adalah himpunan yang jumlah elemenya bisa dihitung contohnya A={1,2,3} yang dimana jumlah elemen dari himpunan A adalah 3.
2. Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang jumlah elemenya tidak bisa dihitung karena tidak terbatas contohnya A={bilangan genap} , B={bilangan ganjil}, C={bilangan prima} dan sebagainya.
3. Himpunan kosong atau null atau empty dimana himpunan ini tidak terdapat atau tidak mempunyai elemen di dalamnya. dapat dituliskan {} atau Ø himpunan ini merupakan himpunan dari semua himpunan.
4. Himpunan pangkat disebut juga power set dari A dituliskan 2A. Jika A = {a,b,c}, maka 2A  = { Ø,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
5. Himpunan Equal adalah himpunan yang anggota atau elemenya sama, contohnya A={1,2,3} dan B={3,2,1} maka A=B.
6. Himpunan Ekuivalen adalah himpunan yang jumlah himpunannya sama, contohnya A={1,2,3} dan B={4,5,6} maka A sama dengan jumlah B.
7. Himpunan Semesta adalah himpunan dari semua unsur sering juga disebut himpunan universal ditulis dengan simbol S atau U, contohnya A={1,2,3} , S={1,2,3,4,5,6.... tahingga} atau S={bilangan prima}.
8. Himpunan disjoint jika himpunan itu saling lepas, contohnya A ∩ B = Ø

4. Simbol-Simbol Baku

• P = Himpunan bilangan bulat positif = {1,2,3, ...}
• N = Himpuanan bilangan alami (natural) = {1,2, ...}
• Z = Himpunan bilangan bulat = {..., -2,-1,0,1,2, ...}
• Q = Himpunan bilangan rasional = {
• R = Himpunan bilangan rill
• C = Himpunan bilangan kompleks
• U/S = Himpunan Semesta dimana ada yang menyebutkan simbolnya U ada juga S

5. Operasi Himpunan

• Gabungan  (Union) ditulis ( U ) disebut juga atau, A dan B diimplementasikan A U B, sehingga A U B = {x|x Є A atau Є B}.Contohnya A={1,2,3} dan B={1,2,3,4,5} maka A U B = {1,2,3,4,5}
• Irisan (intersection) ditulis  ( ∩ ) disebut juga dan, A dan B diimplementasikan A ∩ B, sehingga A ∩ B ={x|x Є A dan Є B}.Contohnya A={1,2,3} dan B={1,2,3,4,5} maka A ∩ B = {1,2,3}. jadi elemen yang sama diantara himpunan A dan B.
• bagian (subset) ditulis ( ⊂ ) dimana jika A adalah himpunan bagian dari B. Contohnya A ⊂ B jika A={1,2,3} dan B={1,2,3,4,5} dan jika B= {45,65,10} maka B ⊄ A. yang ada di himpunan B tapi tidak ada di himpunan A.
• Komplemen (Complement) ditulis ( - ) atau ( c ) bisa juga kebalikan dari subset  B ⊄ A jadi komplemen adalah himpunan yang ada di A tapi tidak ada di B. Contohnya A= {1,2,3} dan B{1,5,6} A - B={2,3}.
• kali  (Kartesius) ditulis ( x ) jadi himpunan A dikali himpunan B. Contohnya A={1,2,3} dan B={1,7} maka A x B = {(1,1),(2,1),(3,1),(1,7),(2,7),(3,7)} bisa juga A x B = {(1,1),(1,7),(2,1),(2,7),(3,1),(7,1)}.

Referensi

• http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika)
• http://himpunan-matematika.blogspot.com/
• Slide Himpunan oleh Rinaldi Munir ITB
• Slide Teori bahasa dan otomata oleh Rinda Cahyana STTG